Table of Contents:
| Vorwort | i | |||
| 1 | Elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen | 1 | ||
| 1.1 | Der Euler-Multiplikator | 5 | ||
| 1.2 | Autonome Systeme | 8 | ||
| 1.2.1 | Klasse von Beispielen | 8 | ||
| 1.2.2 | Zustandsraum eines Systems zweier homogener reeller Differentialgleichungen 1-ter Ordnung | 12 | ||
| 1.3 | Zur Stabilität von Gleichgewichtslagen | 16 | ||
| 2 | Randwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen | 21 | ||
| 2.1 | Die allgemeine lineare Randwertaufgabe | 22 | ||
| 2.1.1 | Eindeutigkeitskriterium | 23 | ||
| 2.1.2 | Die Greensche Funktion für das allgemeine halbhomogene (lineare) Randwertproblem | 26 | ||
| 2.2 | Schwingungen einer Saite | 29 | ||
| 2.2.1 | Lösungsansatz von d’Alembert | 29 | ||
| 2.2.2 | Lösungsmethode von Fourier | 31 | ||
| 3 | Inverse und Zahlenkugel | 33 | ||
| 3.1 | Das Doppelverhältnis | 36 | ||
| 3.1.1 | Die rationalen Funktionen als Abbildung der Zahlenkugel \(\mathbb{P}\) in sich | 38 | ||
| 3.2 | Eine Klasse \(\mathcal{H}\) von rationalen Funktionen | 39 | ||
| 3.2.1 | Elementare Eigenschaften von \(\mathcal{H}\) | 39 | ||
| 3.2.2 | Die Partialbruchzerlegung der Funktion \(h(z) \in \mathcal{H}\) | 40 | ||
| 3.2.3 | Der Divisionsalgorithmus für die Funktionen in \(\mathcal{H}\) | 41 | ||
| 3.2.4 | Anwendung: Das Stabilitätskriterium | 42 | ||
| 4 | Holomorphe oder analytische Funktionen | 45 | ||
| 4.1 | Geometrische Deutung der Holomorphie | 46 | ||
| 4.2 | Holomorphie und Cauchy-Riemann Differentialgleichungen | 47 | ||
| 4.2.1 | Harmonische Funktionen | 48 | ||
| 4.2.2 | Die Verpflanzung harmonischer Funktionen | 50 | ||
| 4.3 | Potenzreihen, das Grundbeispiel holomorpher Funktionen | 52 | ||
| 4.3.1 | Satz über die Holomorphie von Potenzreihen | 53 | ||
| 5 | Integration komplexwertiger Funktionen | 55 | ||
| 5.1 | Integral und Stammfunktion | 56 | ||
| 5.2 | Die Integralformel von Cauchy | 58 | ||
| 5.2.1 | Satz von der Taylor-Entwicklung holomorpher Funktionen | 58 | ||
| 5.2.2 | Satz von Liouville | 60 | ||
| 5.3 | Identitätssatz für analytische Funktionen | 61 | ||
| 5.3.1 | Satz über die Nullstellen analytischer Funktionen | 61 | ||
| 5.3.2 | Spezialisierung der Cauchy-Integralformel für \(z = z_{0}\) | 62 | ||
| 5.3.3 | Prinzip vom Maxiumum und Minimum für analytische Funktionen | 63 | ||
| 5.4 | Die Poissonsche Integralformel | 65 | ||
| 5.4.1 | Lösung der Dirichletschen Randwertaufgabe für eine Kreisscheibe | 66 | ||
| 6 | Ausbau der Theorie analytischer Funktionen | 69 | ||
| 6.1 | Der holomorphe Logarithmus | 69 | ||
| 6.2 | Die Umlaufzahl | 72 | ||
| 6.2.1 | Allgemeine Version der Cauchy Integralformel | 73 | ||
| 6.3 | Allgemeine Version des Integralsatzes von Cauchy | 75 | ||
| 6.3.1 | Existenz globaler Stammfunktionen | 76 | ||
| 6.3.2 | Isolierte Singularitäten | 77 | ||
| 6.3.3 | Eine Residuenformel | 79 | ||
| 6.3.4 | Logarithmische Ableitungen | 80 | ||
| 6.4 | Residuensatz | 81 | ||
| 6.4.1 | Die Klassifizierung isolierter Singularitäten | 82 | ||
| 6.4.2 | Das Null- und Polstellen zählende Integral | 84 | ||
| 6.4.3 | Der Satz von Ronché | 84 | ||
| 7 | Anwendungen des Residuensatzes | 87 | ||
| 7.1 | Anwendungen I | 87 | ||
| 7.2 | Anwendungen II | 89 | ||
| 7.3 | Anwendungen III | 94 | ||